匹配稳健化：RANSAC 与单应估计

一句话定义

单应矩阵 H 描述同一平面在两幅图间的 3×3 投影关系，RANSAC 用「随机抽最小样本集 → 拟合模型 → 数内点」的循环，从充满外点的匹配中稳健地估计出 H。

为什么重要

特征匹配的输出永远混着外点，直接最小二乘会被少数错误配对彻底带偏；RANSAC 是计算机视觉中使用频率最高的稳健估计框架——拼接、标定、基础矩阵、跟踪初始化都在用，「先 RANSAC 再精化」是几何估计的标准姿势。

直观类比

在一屋子人对答案里找共识：每次随机请 4 个人（4 对点）拟出一套方案 H，然后让全屋人投票（重投影误差小于阈值算赞成）；反复抽若干轮，得票最多的方案就是真共识，投票者即内点集，最后再让所有内点重新精修一次方案。

前置知识

kp-008（带外点的匹配集合）；kp-004（单应变换与齐次坐标）。

核心概念

单应（Homography）：平面到平面的投影映射，8 个有效自由度，尺度任意。
最小样本集（s）：确定模型所需最少点对，单应为 4 对（每对贡献 2 个方程）。
内点/外点（Inlier/Outlier）：重投影误差小于阈值 ε 的匹配为内点。
RANSAC 循环：抽样 → 求模型 → 统计内点 → 保留最大内点集。
迭代次数 N：由内点率 w、样本数 s、期望置信度 p 计算。
精化（Refinement）：用全部内点做最小二乘重估模型。

原理与机制

匹配集里正确匹配满足同一几何关系（同一平面的单应），错误匹配分布随机；最小二乘对平方误差敏感，一个外点即可摧毁解，而 RANSAC 的目标函数是「内点计数」，对错误样本不敏感。每轮：抽 4 对点，用直接线性变换（DLT）解 H，把所有点代回算重投影误差并计数。随机抽 s 点全为内点的概率是 w^s，因此 N = log(1−p)/log(1−w^s)：内点率 60%、s=4、置信度 0.99 时约需 57 轮——RANSAC 的代价随内点率下降指数增长，这是它的使用边界。工程变体 MLESAC、PROSAC（按匹配质量优先抽样）在此基础上加速或加权。

公式与模型

x′ ~ H x     （齐次坐标，~ 表示差一个尺度因子）
N ≥ log(1 − p) / log(1 − w^s)
内点判定： ‖ x′ − (Hx)/((Hx)₃) ‖² < ε²

图示

实例与案例

全景拼接：两图 ORB 匹配后 findHomography(..., cv2.RANSAC)，返回的 mask 直接标出内点/外点，warp 后多图对齐。广告牌替换（AR 贴图）：估计牌面单应后把素材 warp 进去。文档透视校正的角点若由特征匹配给出，同样走 RANSAC 防错配。视频防抖中逐帧估计帧间单应，取其刚性分量做补偿。

import cv2
H, mask = cv2.findHomography(pts_src, pts_dst, cv2.RANSAC, ransacReprojThreshold=3.0)
inliers = mask.ravel().astype(bool)     # True 为内点
aligned = cv2.warpPerspective(img_src, H, (w, h))

常见误区

阈值 ε 拍脑袋：ε 应与特征定位精度同量级（1–3 像素），过松把错误匹配算内点，过紧毁掉低纹理场景。
外点率极高时还硬跑：w 低于约 0.3 时迭代次数爆炸，应先加强匹配过滤（ratio、互最近邻、网格运动统计 GMS）。
把 RANSAC 当终点：得到最大内点集后必须用全部内点最小二乘重估，否则精度被单轮随机性限制。
误用单应处理非平面/纯旋转场景：相机纯绕光心旋转时任意场景满足单应，普通视差场景则必须用基础矩阵（kp-012）。

与其他知识点的关系

kp-011 标定、kp-012 基础矩阵估计都以 RANSAC 为稳健层；kp-014 SFM 的两视图初始化同样由「匹配 + RANSAC + 本质矩阵」完成。

自测题

估计单应为什么恰好需要 4 对点？

答案要点：H 有 8 个自由度，每对点提供 2 个独立方程，4 对共 8 个方程恰可解。

内点率 50%、s=4、p=0.99，N 大约多少？

答案要点：w^s = 1/16，N = log(0.01)/log(15/16) ≈ 72 轮。

为什么 RANSAC 比「先最小二乘再剔除大残差」更稳健？

答案要点：最小二乘的初解本身可能被外点污染到无意义，剔残差的判断随之失效；RANSAC 从不依赖初解，目标函数直接是内点计数。