相机标定与畸变

一句话定义

相机标定通过拍摄已知几何图案（通常是棋盘格）的多个姿态，联合求解内参 K、外参 [R|t] 与畸变系数，使三维点经投影后的重投影误差最小。

为什么重要

畸变让直线变弯、让测量失真：AR 叠加要「贴得准」、立体视觉要「行对齐」、SLAM 要「投影一致」，前提都是一套可靠的 K 与畸变参数；标定是所有度量级视觉任务的第一道工序，也是判断一套视觉系统是否「做得认真」的试金石。

直观类比

给相机做一次「验光」：拿一张已知方格的视力表（棋盘格）摆出十几个姿势，让相机记录「它以为的方格位置」，再调整处方（K 与畸变系数），直到它说的位置与真实位置平均偏差最小——处方好不好，用重投影误差这个「视力值」来量化。

前置知识

kp-010（投影方程与 K）。

核心概念

畸变（Distortion）：镜头非理想造成的非线性像差，分径向（桶形/枕形）与切向（装配偏斜）。
张正友标定法：从 ≥2 张（工程上 10–20 张）平面棋盘图像线性求解初值，再非线性联合优化。
重投影误差（Reprojection Error）：3D 点经当前参数投影到像素的坐标与观测角点坐标的平均距离。
去畸变（Undistort）：把有畸变图像重映射为针孔假设下的理想图像。
鱼眼模型：超广角时径向项需用等距/等立体角等模型替代普通多项式。

原理与机制

每个棋盘角点的世界坐标由「格点 + 平面假设」精确已知，图像中用角点检测（亚像素）得到观测坐标；于是每张图提供一组「3D 点 ↔ 2D 点」对应，标定就是解一个大的非线性最小二乘：未知量含 5 个内参（fx, fy, cx, cy, γ）、每张图 6 个外参、以及 4–8 个畸变系数。张正友方法先用线性解（忽略畸变）得到闭式初值，再整体非线性优化（Levenberg–Marquardt），避免直接优化陷入局部极小。畸变建模以归一化坐标 r² = x² + y² 为自变量，低阶多项式即可覆盖普通镜头；重投影误差好于 0.5 像素、畸变参数量级合理即视为标定可信。

公式与模型

x_d = x(1 + k1·r² + k2·r⁴ + k3·r⁶) + 2p1·x·y + p2·(r² + 2x²)
y_d = y(1 + k1·r² + k2·r⁴ + k3·r⁶) + p1·(r² + 2y²) + 2p2·x·y
其中 r² = x² + y²，(x, y) 为归一化坐标，(xd, yd) 为畸变后坐标

RMS = √( Σ ‖ 观测角点 − 投影角点 ‖² / N )

图示

实例与案例

打印机打印 A4 棋盘贴硬板（必须平整），从不同角度、覆盖画面各区域拍 15–20 张，OpenCV 一条管线出 K、畸变向量与每图外参。双目系统的双相机需分别标定再立体标定（求相对位姿），行对齐质量直接决定 kp-013 视差计算的搜索效率。工业尺寸测量要求标定板高精度（玻璃基板），并把温度漂移纳入复标周期。

import cv2, glob
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)
und = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, mtx)
rms = ret      # 重投影均方根误差（像素）

常见误区

棋盘姿态单一：全部正对拍摄无法约束焦距与主点，姿态应含明显倾斜且覆盖四角。
标定板不平整：纸的翘曲直接污染「已知 3D 坐标」，误差被算进 K。
只看误差不看残差分布：整体 RMS 达标但某几张图残差异常大，说明个别姿态角点检测失败，应剔除重标。
畸变系数越多越好：无高阶畸变的镜头硬加 k3 会与 k1 强相关，参数震荡；按镜头类型选模型。

与其他知识点的关系

标定出的 K 参与 kp-012 的 E→F 换算；去畸变是 kp-013 立体匹配的前置工序；SLAM（kp-014）的投影残差依赖全程固定一致的 K 与畸变参数。

自测题

为什么标定需要多个姿态的棋盘图像？

答案要点：单视角下内参与外参耦合（尺度/角度简并），多视角提供独立约束，才能把内参分离出来。

重投影误差 2 像素的标定能用吗？

答案要点：视用途而定；AR/测量级场景偏大，通常应排查角点检测或标定板平整度，压到 0.5 像素以内。

径向与切向畸变分别来自什么？

答案要点：径向来自镜头曲面形状（桶形/枕形），切向来自镜头组与传感器平面不平行（装配偏斜）。

前置知识点