直方图、金字塔与多尺度

一句话定义

直方图统计像素亮度分布并支撑均衡化与自动阈值，图像金字塔用逐级降采样构成同一场景的多尺度表示，为不同大小的目标提供统一处理框架。

为什么重要

光照不均会毁掉固定阈值的分割，直方图均衡与 Otsu 是最便宜的对症药；而物体在图像里的尺寸不可预知，「在多个尺度上找东西」从模板匹配、SIFT 到 YOLO 的多尺度检测头一脉相承，金字塔正是这条主线的起点。

直观类比

直方图像人口普查：不关心谁住哪，只关心各收入段有多少人；均衡化就是重新分配「户口」让每个亮度段人数均等。金字塔像一套缩略图文件夹：原图、二分之一、四分之一……小目标在大图里找，大目标在缩略图里看全貌。

前置知识

kp-002（卷积与降采样前的平滑）。

核心概念

灰度直方图：每个亮度级的像素计数，忽略空间位置。
直方图均衡化（Histogram Equalization）：用累积分布函数重映射亮度，使分布趋于均匀。
CLAHE：限对比度自适应均衡，分块均衡并裁剪放大倍数，治「过度增强」。
Otsu 阈值：遍历阈值取类间方差最大者，实现自动二值化。
高斯金字塔（reduce）：每级先高斯平滑再隔行隔列抽取，尺寸减半。
拉普拉斯金字塔：相邻两级之差，编码高频细节，是图像融合与重建的基础。

原理与机制

均衡化把亮度 r 经累积分布 CDF 映射到新亮度 s：像素多的段被拉开，像素少的段被压缩，整体对比度提升。Otsu 把像素分为前景/背景两类，遍历阈值 t 使两类的「权重 × 均值差²」最大，等价于最大化类间方差，因此对双峰直方图效果最好。金字塔的每级由上一级平滑 + 抽取得到；平滑这一步不可省，否则降采样违反奈奎斯特条件产生混叠（摩尔纹）。拉普拉斯金字塔 L_l = G_l − expand(G_{l+1})，逐级只保留「降采样丢掉的信息」，因此可无损重建且带宽紧凑。

公式与模型

s_k = (L − 1) · Σ_{j=0}^{k} n_j / MN          （均衡化：n_j 为第 j 级像素数，MN 为总像素）
σ_B²(t) = w0(t) · w1(t) · [ μ0(t) − μ1(t) ]²   （Otsu 类间方差）

图示

实例与案例

证件照光照不均：全局均衡化把阴影区拉得过亮，CLAHE（clipLimit≈2、8×8 网格）是标准解。票据二值化：直方图双峰明显时 Otsu 一步到位。图像融合：拉普拉斯金字塔在多频段分别混合，接缝几乎不可见。目标检测：YOLO 的三个检测头分别负责大、中、小目标，思想与金字塔同源——特征金字塔网络（FPN）把这一思想搬进深度网络。

import cv2
eq  = cv2.equalizeHist(gray)
clahe = cv2.createCLAHE(2.0, (8, 8)).apply(gray)
_, bw = cv2.threshold(gray, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)
G1 = cv2.pyrDown(gray)          # 高斯金字塔降一级

常见误区

全局均衡化治一切光照问题：强噪声会被同步放大，医学与监控场景首选 CLAHE。
Otsu 用在单峰直方图上：无前景/背景双峰时类间方差无意义，应改自适应阈值。
降采样不做平滑：直接抽像素等于欠采样，摩尔纹与锯齿随之而来。
金字塔层数越多越好：每级损失一倍分辨率，层数超过 log2(min(H, W)) 就没有意义。

与其他知识点的关系

高斯金字塔是 kp-007 SIFT 尺度空间的高效实现骨架；多尺度思想在 kp-018 以检测头形式重现；均衡化与 CLAHE 是 kp-026 训练增强里光度扰动的经典成员。

自测题

均衡化为什么能提升对比度？副作用是什么？

答案要点：CDF 重映射使亮度分布趋匀、动态范围拉开；副作用是噪声与纹理被同步放大、局部过曝。

Otsu 在什么前提失效？

答案要点：直方图无前景/背景双峰（如弱对比或单峰噪声图）时类间方差无极值可依。

为什么金字塔每级抽取前必须高斯平滑？

答案要点：满足奈奎斯特采样条件，避免高频混叠成低频伪影。