滤波与卷积

一句话定义

滤波是用一个小尺寸核（kernel）在图像上滑动、对邻域像素加权求和得到输出像素的运算；严格卷积还会先把核翻转 180 度。

为什么重要

滤波是图像处理的「四则运算」：去噪靠高斯滤波、锐化靠拉普拉斯核、边缘靠梯度核、深度网络的第一层也是可学习的卷积核。理解了离散卷积与输出尺寸公式，就同时打通了经典视觉与 CNN 两套体系。

直观类比

核像一枚小印章，盖在图像每个位置上，把印章覆盖的像素按印章上的系数加权求和，填进输出图；均值核是「全体平摊」，高斯核是「越近的话语权越大」，中值滤波则是「让中间人发言」。

前置知识

kp-001（像素矩阵与通道）。

核心概念

核/模板（Kernel）：如 3×3 的系数矩阵，系数决定滤波性质。
线性滤波：输出是邻域的线性组合（均值、高斯、Sobel）。
非线性滤波：输出不能用线性组合表达，如中值滤波取邻域中位数，对椒盐噪声特别有效。
边界处理（Padding）：核滑到图像边缘会越界，常用补零、复制边缘或镜像填充。
可分离核：二维高斯可拆成先横向后纵向两次一维卷积，计算量从 k² 降为 2k。

原理与机制

离散线性滤波按下式计算（严格说这是互相关，深度学习文献里统称卷积；数学意义上的卷积需先把核旋转 180 度，对对称核二者等价）：

输出尺寸由核尺寸 k、填充 p、步幅 s 决定：

g(x, y) = Σ Σ k(i, j) · f(x + i, y + j)
out = ⌊(N + 2p − k) / s⌋ + 1

高斯核由二维正态密度采样归一化而来，标准差 σ 越大越模糊；核尺寸通常取 σ 的约 6 倍并向上取奇数。均值核系数全为 1/k²，实现最简单但频域上截止不干净，会留下振铃感；高斯核是唯一「各向同性且可分离」的常用平滑核，因此工程上平滑首选高斯。

公式与模型

G_σ(x, y) = exp(−(x² + y²) / (2σ²)) / (2π σ²)

中值滤波：out(x,y) = median{ f(x+i, y+j) | (i,j) ∈ 核窗口 }，无法写成卷积，也无解析频域描述。

图示

实例与案例

去噪：手机夜拍叠加高斯去噪后噪点减少但细节变软，改用双边滤波（保边平滑）可兼顾。实时预处理：YOLO 训练管线里的 Mosaic 增强前常有轻量模糊增强，本质就是随机 σ 的高斯核。工业检测中先 3×3 高斯再去 Canny 边缘，能把孤立噪点误检率降一半以上。

import cv2
blur  = cv2.GaussianBlur(img, (5, 5), 1.2)   # 高斯平滑
med   = cv2.medianBlur(img, 5)               # 中值，治椒盐噪声
sharp = cv2.filter2D(img, -1, kernel=[[0,-1,0],[-1,5,-1],[0,-1,0]])  # 锐化

常见误区

把相关当卷积：核不对称时二者结果不同；cv2.filter2D 执行的是相关，不是严格卷积。
只调核尺寸不调 σ：OpenCV 的 GaussianBlur 若 σ 传 0 会由核尺寸反推，理解错会得到意外模糊度。
用大核均值代替高斯：均值核方向性伪影明显，高质量平滑应使用高斯或双边。
忽略边界效应：补零会在边缘产生暗边，检测边缘强度时常用复制填充。

与其他知识点的关系

卷积是 kp-003 梯度算子、kp-005 金字塔降采样的原子操作；kp-015 的 CNN 把固定核换成可学习参数，输出尺寸公式完全沿用本站。

自测题

输入 32×32、核 5×5、padding 2、stride 1，输出尺寸是多少？

答案要点：(32 + 4 − 5)/1 + 1 = 32，尺寸不变。

椒盐噪声为什么中值滤波比高斯滤波有效？

答案要点：椒盐噪声是极端离群值，均值/加权平均会被拉偏，中值直接把离群值排掉。

5×5 高斯核可分离时计算量省多少？

答案要点：每像素从 25 次乘加降为 10 次，约省 60%。

前置知识点